Menu

Znajdziesz tutaj opisy wybranych zagadnień oraz pliki do pobrania. Do otwarcia części plików, potrzebna będzie GeoGebra, którą znajdziesz tutaj. Spróbuj rozpocząć od wersji GeoGebra Classic 5 lub 6.

Wszystkich zainteresowanych poszerzeniem wiadomości, zapraszam do tematu Matematyka trochę inaczej, znajdującego się w module GEOGEBRA :)

Wiara w siebie
To nie dla mnie!
Przez wiele lat, mogło pojawić się u Ciebie przekonanie, że tego i tak się nie nauczę, że to nie dla mnie itp. Wiara w istnienie takiego stanu rzeczy może coraz mocniej ugruntowywać Twoje przekonanie, że tak będzie już zawsze.
Każdej rzeczy można się nauczyć, ale wiedza i umiejętności nie przychodzą same. Wiara we własną niemoc może zupełnie Cię zniechęcić do nauki i w konsekwencji spowodować egzaminacyjną katastrofę.

Przydatność
I do czego mi się to przyda w życiu?
Matematyka to przede wszystkim nauka precyzji i logicznego myślenia. Ułatwia wyciąganie wniosków. Na bardzo wielu uczelniach, na kierunkach nie matematycznych są wykładane jej elementy, a prawie na wszystkich kierunkach spotkasz się z logiką lub statystyką. Dział matematyki, zwany geometrią kształci bardzo wyobraźnię, a zwłaszcza przestrzenną.
Nie bój się! Od nadmiaru wiedzy głowa nie pęknie. Pomyśl, że gdyby nasi przodkowie obraziliby się na matematykę, to co by dzisiaj było? Nie miałbyś nawet swojego ukochanego smartfonika, dzięki któremu nieustannie rehabilitujesz swój kciuk (a reszta ciała powoli zanika). Już słyszę jak mówisz teraz: Oj tam…

Wzory
Po co się będę uczyć wzorów, skoro są w tablicach?
Wyobraź sobie sytuację, ze jedziesz samochodem i przed każdym znakiem i każdą czynnością, np. zmianą biegów szukasz w kodeksie ruchu drogowego lub w instrukcji załączonej do pojazdu co należy zrobić dalej. Sytuacja na drodze i tak wymaga łączenia wielu informacji w całość, a ciągłe odwoływanie się do różnych instrukcji spowodowałoby, że bardzo szybko doszłoby na drodze do wypadku.
Komputer, który odwołuje się do urządzeń zewnętrznych pracuje wolniej. Najszybciej pracują programy załadowane w całości do pamięci RAM. Twój mózg jest tą pamięcią.
Ponadto, znany wzór, daje się łatwiej dopasować do nietypowego zadania, nie mówiąc już o stracie czasu na poszukiwanie żądanego wzoru, którego nie kojarzymy intuicyjnie z problemem występującym w zadaniu. Najlepiej to widać w zadaniach otwartych, wymagających odwoływania się do wielu wzorów.

Zadania
Zrobię zamknięte, nierówność i wystarczy…
Co zrobisz, jeżeli słynna nierówność kwadratowa będzie wyglądała jakoś dziwnie? Będzie miała nawiasy, jakiś wzór skróconego mnożenia lub jakieś inne dziwadło? Dlatego samodzielne robienie zadań ma sens. Z przerobionymi na lekcji zadaniami jesteś jak kasjer po kursie obsługi kasy fiskalnej siadający na stanowisku kasowym w pierwszym dniu pracy. Pierwszy problem… i leżysz i kwiczysz 😊. Tylko samodzielne rozwiązywanie zadań daje szansę na utrwalenie metody, a przede wszystkim na jej zastosowanie w sytuacji gdy sformułowanie zadania będzie inne niż standardowe.

Co dalej
Strach to ciemna strona Mocy. Strach wiedzie do gniewu, gniew do nienawiści, nienawiść prowadzi do cierpienia. Czuję w tobie wielki strach… (Yoda, Gwiezdne Wojny)
Spróbuj polubić matematykę, a od razu stanie się ona sympatyczniejsza i mniej straszna. Nie lubimy z reguły tego, czego się boimy. Z każdym zapamiętanym wzorem i z każdym rozwiązanym dodatkowo zadaniem będzie coraz łatwiej i ciekawiej. Zaś kiedy odkryjesz, że jesteś w stanie coś wytłumaczyć innym to będziesz już na prostej drodze do gwiazd.
Niemal wszystkie pierwiastki, z których jesteśmy zbudowani, ty i ja, zostały wyprodukowane wewnątrz gwiazd istniejących na długo przed powstaniem Ziemi. Mamy zatem prawo twierdzić, że wszyscy jesteśmy dziećmi gwiazd. (Stephen Hawking).

Zanim zwątpisz, przeczytaj treść zadania, dzieląc je na fragmenty. Podkreśl kluczowe słowa lub fragmenty. Na egzaminie możesz używać tylko koloru czarnego. Zawsze jednak można użyć podkreśleń pojedynczych, podwójnych itp.

Przykład 1

Liczby naturalne dwucyfrowe należą do przedziału <10, 99>. Jest ich 90. Dzieje się tak, ponieważ odejmowanie wyznacza różnicę pomiędzy liczbami. Trzeba uwzględnić liczbę "skrajną": 99 - 10 = 89, 89 + 1 = 90. |Ω| = 90.

Najmniejsza liczba dwucyfrowa podzielna przez 3 to 12. Następna to 15, 18, ..., 39. Jeżeli liczb nie jest dużo to spróbuj je wypisać lub skorzystaj z cechy podzielności przez 3 (suma cyfr podzielna przez 3) lub zauważ, że jest to ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Wypisujemy: {12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39}. |A| = 10.

Zatem P(A) = 10/90. Zwróć uwagę na całą treść zadania i zawarte w nim polecenia. W tym przypadku, konieczne jest zapisanie ułamka jako nieskracalnego. P(A) = 1/9.


Przykład 2

 

V=1/3πR2H.

Czyli: 1/3πR2H = 8π /:π.
1/3R2H = 8 /·3
R2H = 24

H:R = 3:8
Zatem: 8H = 3R /8
H = 3/8R

Otrzymujemy dwa równania: R2H = 24H = 3/8R.
Zatem: R2·3/8R = 24
3/8R3 = 24 /:3/8
R3 = 64
R = 4
H = 3/8·4 = 12/8
H = 3/2

 P = πRl

Tworzącą l obliczamy z tw. Pitagorasa:
H2 + R2 = l2, czyli (3/2)2 + 42 =l2
l = √73/2

P = π·4·√73/2. Zatem P = 2√73π

... czyli po co się będę tego uczyć, skoro jest w tablicach ;)

Szukając wzorów w tablicach, nie zabieraj się za to dopiero na egzaminie bo stracisz za dużo czasu na szukanie lub nie znajdziesz wcale. Wzory mogą być podane trochę inaczej niż w podręczniku lub na lekcji.

Patrz uważnie na przeszukiwaną część tablic, gdyż zawierają one także mniej używane wzory, które mogą ułatwić lub wręcz umożliwić rozwiązanie zadań.

Komputer odwołując się po dane do dysku potrzebuje na to czasu. Rozwiązując zadanie, również potrzebujesz czasu na znalezienie wzoru. Dlatego tak ważne jest pamiętanie wzorów w Twoim RAM (podstawowym typie pamięci cyfrowej), czyli mózgu :) ponieważ łatwiej pokonasz problem.

Kolorem czerwonym oznaczyłem zagadnienia, które mogą zadecydować o Twoim egzaminacyjnym sukcesie.


Przykład 1

 

Definicja logarytmu zawiera zapisane słownie założenia: c>0, c≠1, a>0 oraz równoważny zapis definicji, wykorzystywany np. w zadaniach zamkniętych.


Przykład 2

Wzór na kapitał końcowy jest zlokalizowany w ciągach, gdyż jest on związany z ciągiem geometrycznym. Ponadto wzór określa sytuację w której lokata jest roczna, z roczną kapitalizacją. Jeżeli np. dla lokaty rocznej, kapitalizacja jest kwartalna, to n=4, a procent p należy podzielić przez 4 (rok ma 4 kwartały).


Przykład 3

Ten wzór można użyć jeżeli trzeba szybko obliczyć odległość punktu od prostej, np. odległość wierzchołka trójkąta od podstawy (wysokość).


Przykład 4

Wzory na pole rombu są w 3 wersjach. Tablice nie mówią o tym, że przekątne rombu przecinają się dokładnie w połowie. Jeden zaznaczony kąt prosty wskazuje na to, że romb da się podzielić na cztery identyczne trójkąty prostokątne.


Przykład 5 

Odczytując wartości funkcji trygonometrycznych lub kąty na podstawie wartości tychże funkcji, zauważ że sinα i tgα są czytane w kolumnie α, zaś cosβ w kolumnie β.

GeoGebra

Liczby rzeczywiste

Przedziały liczbowe

Procenty

Równania, nierówności, układy

Układy równań

Logarytm

Wykres funkcji, obliczanie logarytmów

Funkcje

Funkcja jako przyporządkowanie

Funkcja jako przyporządkowanie - konstruktor funkcji

Wykresy typowych funkcji

Funkcja liniowa

Własności funkcji "kawałkami" liniowej

Znaczenie współczynnika a

Znaczenie współczynnika b

Prostopadłość i równoległość prostych

Punkty przecięcia z osiami układu

Funkcja kwadratowa

Postać ogólna

Postać kanoniczna

Postać iloczynowa

Wartość największa i najmniejsza

Położenie paraboli w układzie

Wierzchołek paraboli i miejsca zerowe

Ciągi

Ciąg jako funkcja w zbiorze liczb N 

Ciąg arytmetyczny

Ciąg geometryczny

Pochodna funkcji

Monotoniczność i ekstrema

Styczna do wykresu w punkcie

Przekształcenia wykresów funkcji

Przesunięcia, wektory, wzory

Zależność wykresu od wzoru funkcji

Geometria

Okrąg: łuk okręgu i liczba π

Okrąg: kąt wpisany i środkowy

Okrąg: styczna i sieczna


Oznaczenia w trójkącie

Okrąg wpisany w trójkąt

Okrąg opisany na trójkącie

Okręgi: wpisany i opisany na trójkącie


Skala podobieństwa

Zależność figury od skali podobieństwa

Twierdzenie Talesa

Geometria analityczna

Odcinek i punkt

Symetria osiowa

Symetria środkowa

Przesunięcie

Jednokładność

Obrót

Trygonometria

Funkcje w trójkącie prostokątnym

Funkcje w układzie współrzędnych

Stereometria

Graniastosłupy

Ostrosłupy

Walec

Stożek

Kula

Matematyka trochę inaczej

Funkcje 2 zmiennych - przykład 1

Funkcje 2 zmiennych - przykład 2


Skala - czyli jak wiele zależy od punktu widzenia

Świat elips i kul - czyli Układ Słoneczny

Świat okręgów i elips - odkrywanie reguł


Trochę o czwartym wymiarze

Czy suma kątów w trójkącie zawsze wynosi 180°?

Kula i płaszczyzna - czyli ugięcie przestrzeni

Komunikacja na skróty i światy równoległe

Ruch obiektu w przestrzeni i teleportacja

Hipersześcian - przykład 1

Hipersześcian - przykład 2

Punkty w przestrzeni czyli model klasyczny i kwantowy

Punkty na prostych czyli podróże w czasie 

Technikum: technik hotelarstwa - technik organizacji turystyki - technik przemysłu mody - technik żywienia i usług gastronomicznych - technik usług kelnerskich
Szkoła Branżowa I Stopnia: kelner - kucharz  - cukiernik - krawiec

Menu